체스나 포커와 같은 게임에서 발생하는 전략적인 문제, 게임이론 8

체스나 포커와 같은 게임에서 발생하는 전략적인 문제들은 때때로 인간의 사회적 문제에 대해 말하는 것이 단순한 허튼 소리인 것처럼 생각합니다.

체스나 포커와 같은 게임에서 발생하는 전략적인 문제

장점은 거의 모든 사람들이 체스나 포커와 같은 게임에서 발생하는 전략적인 문제에 대해 냉정하게 생각할 수 있고, 결과가 나오면 자동적으로 결론을 거부하지 않는다는 것입니다.

환영 받지 못하다 하지만 논리는 어디에 적용되든 동일합니다. 첫눈에, 체스와 포커는 유료 테이블로 표현될 수 없는 것처럼 보입니다. 시간이 그림에 들어오기 때문이죠. 누가 무엇을 하느냐가 중요할 뿐만 아니라 그들이 무엇을 하느냐가 중요합니다. 그 차이점의 일부는 허황된 것입니다. 일반적인 경우에, 순수한 전략은 게임에서 발생할 수 있는 모든 가능한 우발 사건에 대해 참가자에게 무엇을 해야 하는지 알려 주는 행동 계획입니다. 그러면 참가자들은 게임을 시작할 때 모든 것을 위해 전략을 선택한 다음 게임의 플레이를 로봇에 위임하는 것으로 예상될 수 있습니다. 결과적인 전략적 형태의 체스는 치킨이나 Sexes전투처럼 보일 것입니다. 단, 보수 표가 0원이 되고 행과 열이 훨씬 더 많을 것입니다. 폰 노이만은 어떤 게임에서든 가장 먼저 해야 할 일은 그것을 전략적 형태로 축소하는 것이라고 주장했고, 이것을 그는 그 이유로 정상적인 형태라고 불렀입니다. 하지만 체스의 경우는, 알려진 우주의 예상되는 전자 수보다 더 많은 순수한 전략을 가지고 있기 때문에, 이것이 항상 매우 실용적인 제안은 아니라는 것을 분명히 했습니다.

게임의 광범위한 형태

전략적 형태가 절망적으로 다루기 어렵지 않을 때조차도, 종종 게임의 광범위한 형태를 고수함으로써 일을 해결하는 것이 훨씬 더 쉽습니다. 게임 이론가들은 게임을 광범위한 형태로 묘사할 때 나무의 비유를 사용합니다. 각 이동은 트리가 분기하는 노드라고 하는 점에 해당합니다. 나무의 뿌리는 게임의 첫번째 움직임에 해당합니다. 각 노드의 분기는 해당 이동에서 수행할 수 있는 선택 사항에 해당합니다. 나뭇잎들은 게임의 최종 결과에 해당합니다. 그래서 저희는 누가 각각의 잎에서 어떤 보상을 받는지 말해야 합니다. 저희는 또한 각 노드에서 어떤 플레이어가 움직이는지 그리고 그 플레이어가 지금까지 게임에서 어떤 일이 일어났는지 알아야 합니다. 포커에서는, 첫번째 움직임이, 실제 플레이어들과 섞어서 거래하는 ‘기회’라는 가상의 플레이어에 의해 만들어집니다. 플레이어들이 이 움직임에 대해 아는 것은 포커에서 매우 중요합니다. 왜냐하면 모든 사람들이 다른 사람들이 무엇을 받았는지 안다면 관심이 없을 것이기 때문입니다. 그러나, 그러한 불완전한 정보의 게임들은 다음 장까지 남을 것입니다. 이 장의 모든 게임들은 완벽한 정보의 게임이 될 것입니다. 게임에서 지금까지 일어난 어떤 것도 그들이 움직일 때는 선수들에게 숨겨지지 않습니다. 또한 저희는 우연히 움직이는 Duel과 같은 완벽한 정보를 가진 게임을 고려하지 않습니다. 따라서 체스는 이 장의 전형적인 예입니다. 후방 유도는 논쟁의 여지가 있는 주제이지만, 우리가 큰 관심을 가지고 있다면, 모든 분들은 우리가 항상 완벽한 정보를 가진 유한한 게임에서 선수들의 특성을 찾는데 동의합니다.

체스에 역 유도를 적용

충분히 큰 길과 서 있어야 할 곳을 감안하면, 아르키메데스도 비슷하게 그가 세상을 움직일 수 있다고 말했을 때 옳았습니다. 체스에 역 유도를 적용하는 것은 그것의 이론적인 장점과 실제적인 단점 모두를 보여 줍니다. 화이트의 결과에 따라 WIN, LOSE또는 DR을 사용하는 체스 게임 트리의 각 잎에 레이블을 붙입니다. 이제 모든 Penultimate노드를 선택합니다(각 노드는 트리의 리프로 즉시 이동합니다). 이 노드에서 이동하는 플레이어에 가장 적합한 옵션을 찾습니다. 이 선택이 이끄는 리프의 레이블을 사용하여 Penultimate노드에 레이블을 지정합니다. 마지막으로, Penultimate노드를 따르는 모든 트리를 버립니다. 이제 이것은 플레이어의 최대치가 변하지 않는 작은 트리의 잎이 됩니다. 이제 원래의 나무 뿌리에 붙은 꼬리표만 남을 때까지 같은 과정을 반복하세요. 이 라벨은 화이트의 최대 결과입니다. 우리가 결국 얼마나 크고 빠르게 컴퓨터를 만들든지 간에, 그들은 체스를 위한 이 프로그램을 완성할 수 없을 것입니다. 왜냐하면 너무 오래 걸릴 것이기 때문입니다. 그래서 저희는 아마 체스의 해답을 결코 알지 못할 것입니다. 하지만 적어도 저희는 빅풋이나 네스호 괴물과는 달리 체스를 위한 해결책이 있다는 것을 알아냈습니다. 화이트의 최대 결과가 WIN이면 블랙의 방어에 대한 승리를 보장하는 순수한 전략이 있습니다. 화이트의 최대 결과가 LOSE이면, 블랙은 그가 화이트의 방어에 대한 승리를 보장하는 순수한 전략을 가지고 있습니다. 하지만, 대부분의 전문가들은 화이트의 최대 결과물이 드로우일 것이라고 추측하는데, 이는 화이트와 블랙이 어떤 방어에 대한 무승부를 보장하는 순수한 전략을 가지고 있다는 것을 의미합니다.

퇴보적인 유도 논쟁

이러한 전문가들의 말이 맞다면, 체스의 전략적 형태는 모든 결과가 WIN또는 DRDR인 행과 그림 10과 같이 모든 패가 LOSE또는 DR.입니다. 퇴보적인 유도 논쟁 없이, 저는 이 사실이 전혀 명백하게 보일지 확신할 수 없습니다. 16진수 – PietHein은 1942년에 이 게임을 발명했습니다. 그것은 Nash에 의해 1948년에 재창조되었습니다. 분들은 그가 프린스턴 수학과의 남자 화장실에서 육각형 타일을 생각하면서 이런 생각을 했다고 말합니다. 거기에는 실제로 육각 타일들이 있었지만, 내시는 그것들을 발견한 것이 전혀 고무적이지 않다고 말합니다. 16진수는 그림 10에서와 같이 평행 사변형으로 배열된 6각형 보드에서 Black과 White사이에서 재생됩니다. 게임이 시작될 때, 각 선수의 영역은 보드의 반대쪽 두 면으로 구성됩니다. 선수들은 교대로 움직이고, 화이트가 먼저 움직인입니다. 이동은 비어 있는 육각형에 카운터 중 하나를 배치하는 것으로 구성됩니다. 우승자는 보드의 양쪽을 먼저 연결하므로 그림 10에서 방금 결론이 난 게임에서 블랙이 우승자였습니다. 체스에서처럼, 저희는 역 유도를 사용하여 선수들의 최대 이득을 이론적으로 알아낼 수 있지만, 그 방법은 보드가 클 때는 실용적이지 않습니다. 하지만 그럼에도 불구하고 저희는 화이트의 가장 큰 대가가 WIN이라는 것을 압니다. 즉, 이적한 첫번째 선수가 두번째 선수의 방어에 대한 승리를 보장하는 전략을 가지고 있습니다. 이 사실을 어떻게 알 수 있을까요? 먼저 16진수는 그리기로 끝날 수 없습니다. 이것을 보기 위해서는 검은 색 카운터를 물로 생각하고 흰색 카운터를 육지로 생각하세요. 6각형이 모두 사용되면, 물이 원래 검은 색에 속해 있던 두개의 호수 사이로 흐르게 되고, 그렇지 않으면 그들 사이의 해협이 막히게 됩니다. 첫번째 경우는 흑인이 이기고 두번째 경우는 화이트가 이깁니다. 따라서 블랙과 화이트는 승리 전략을 가지고 있습니다. 내시는 승리자가 백인임이 틀림없다는 것을 보여 주기 위해 전략적인 논쟁을 고안해 냈습니다. 그 주장은 모순됩니다.

승리 전략

블랙이 승리 전략을 구사한다면 화이트는 다음과 같은 규칙을 사용하여 이를 훔칠 수 있습니다. 1. 어디서 힘을 내세요. 2. 아틀라테르모프, 1차 목적지에 대한 계획은 없습니다. 다음으로 나머지 화이트 카운터는 모두 블랙이고 블랙 카운터는 모두 화이트인 척 하세요. 3. 승리 전략을 사용할 때는 중요하지 않습니다. 이 위치에 카운터가 이미 있으면 아무 데나 이동하십시오. 이 전략은 당신이 블랙에게 승리를 보장한다고 생각되는 것을 단순히 하고 있기 때문에 당신에게 승리를 보장합니다. 화이트 카운터의 이사회에 참석한 것이 블랙이 한 것보다 더 빨리 당신의 승리를 이끌어 낼 수도 있겠지만, 당신은 그것에 대해 불평하지 않을 것입니다! 두 선수가 모두 승자가 될 수는 없기 때문에 블랙이 승리 전략을 가지고 있다는 우리의 가정은 잘못된 것임에 틀림 없습니다. 따라서 화이트의 우승 전략을 찾는 것은 일반적인 경우 해결되지 않은 문제이기 때문에 이 사실을 알고 있다고 해주셔도 큰 보드의 Hex(16진수)이 크게 도움이 되지 않습니다.

전략을 중시하는 주장은 White의 향후 계획에 대해 전혀 말해 주지 않는다는 것을 주목하십시오. 그녀는 첫번째 카운터를 아무 데나 두고 확실히 승리를 장담할 수 없습니다. 만약 그녀가 첫번째 카운터를 보드의 날카로운 모서리에 놓는다면, 여러분은 왜 블랙이 나머지 게임에서 승리 전략을 가지고 있는지 알 수 있을 것입니다. 프린스턴 수학자들이 방문자들을 놀리기 위해 사용했던 16진수 버전에서 여러분의 추리력을 시험해 보는 것도 재미 있을 것입니다. 화이트 보드의 양쪽 면이 블랙 보드보다 더 멀어질 수 있도록 6각형의 추가적인 선이 보드에 추가됩니다. 새로운 게임에서, 승리 전략을 가진 사람은 블랙일 뿐만 아니라 저희는 그의 승리 전략을 적을 수 있습니다. 하지만 방문객들이 컴퓨터에 대해 화이트로 플레이 했을 때 보드는 비대칭성을 감추기 위해 스크린에 원근 법으로 보여졌습니다. 따라서 방문객들은 그들이 규칙적인 16진수 게임을 하고 있다고 생각했지만, 그들의 좌절과 실망으로 인해 어쨌든 컴퓨터는 항상 이겼습니다!

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