영웅의 지적인 숙달, 게임이론 5

코난 도일이 The final Problem에서 ‘Matching Pennies in the 최종 문제’를 분석한 것은 그의 영웅의 지적인 숙달에 대한 신뢰를 반영하지 않습니다. 에드가 앨런 포는 악당이 편지를 훔쳐 간 푸르로이드 편지에서 더 잘하는데, 문제는 그것을 어디서 찾느냐 하는 것입니다.

영웅의 지적인 숙달

포는 상대방보다 한 걸음 더 나아 가 이기는 방법은 ‘그는 제가 생각하는 것으로 생각한다’는 형식의 추리 사슬을 연장하는 것이라고 주장합니다. 이 제안을 옹호하기 위해, 그는 상대의 얼굴 표정을 흉내 내어 지속적으로 페니 대회에서 승리하는 소년을 고안해 냈는데, 아마도 그가 무슨 생각을 하는지 알게 됩니다. 얼마나 많은 포커 플레이어들이 그들의 바디 랭귀지를 통제할 수 없게 됨으로써 그들의 손을 내주는 것은 분명히 놀라운 일이지만 앨리스와 밥은 어느 누구도 포의 트릭을 성공적으로 사용할 수 없습니다. 게임 이론은 앨리스와 밥이 내시 균형이라는 생각에 호소함으로써 직면한 명백한 무한 회귀에서 벗어났습니다. 하지만 저희는 여전히 문제가 남아 있습니다. 왜냐하면 최고의 답변을 돌리는 요령은 매칭 퍼니스에게는 효과가 없기 때문입니다. 가장 좋은 대답은 그림 3에 있는 모든 뇌물을 동그라미 친 후에, 저희는 드라이빙 게임에서 Nash Equilibria를 두개 찾았지만 일치하는 Pennies에는 아무것도 없었습니다. 이 사실은 존 내시가 노벨상을 부분적으로 모든 한정된 게임이 최소한 하나의 균형을 가지고 있다는 것을 보여 준 것을 기억하는 사람들에게 신비하게 보일지도 모릅니다.

미스터리에 대한 답

미스터리에 대한 답은 우리가 지금까지 고려해 온 순수한 전략을 넘어서 다양한 전략을 고려해 볼 필요가 있다는 것입니다. 무작위 추출이 말이 되나요? 혼합된 전략은 플레이어들이 그들의 순수한 전략 선택을 강조할 것을 요구합니다. 미친 사람들만 무작위로 중대한 결정을 내리는 것에 이의를 제기하는 것은 당연하지만, 그것을 깨닫지 못한 분들은 항상 혼합된 전략을 사용합니다. 제가 가장 좋아하는 예는 규제 문제에 대해 패키지 휴가 회사에 조언을 했을 때 생겼습니다. 게임 이론은 휴가 수요가 예상치 못하게 저조한 것으로 드러났을 때 이들 회사가 해야 할 가격 책정 게임에 혼합 전략을 사용할 것으로 예측하고 있습니다. 하지만 그의 회사가 작년에 가격을 적극적으로 랜덤화했는지에 대해 고위 간부에게 물었을 때, 그는 그러한 기괴한 제안에 두려움을 느꼈습니다. 그런데 왜 비슷한 휴가에 대한 그의 가격이 그렇게 많이 달랐을까요? 그의 대답은 교훈적이었습니다.’계속 반대편을 가늠해 봐야 합니다.’ 그의 대답은 그가 왜 게임 이론이 때때로 혼합된 전략의 사용을 추천하는지 완벽하게 이해했는지를 보여 줍니다. 그가 직면하고 싶지 않은 것은 그의 회사가 가격을 정하는 방법이 본질적으로 무작위화하는 장치라는 것이었습니다. 아무도 카드를 자르지 않았습니다. 아무도 주사위 상자를 흔들지 않았습니다. 하지만 경쟁사의 관점에서 보면 그의 회사가 바하마에서 2주 동안 부과할 요금을 예측하려고 한다면, 그들은 그렇게 했을 것입니다.

혼합된 전략

일치하는 페니에서 혼합된 전략을 사용하는 것은 전혀 놀라운 일이 아닙니다. 모든 아이들이 알고 있듯이, 해결책은 머리와 꼬리 사이를 랜덤화하는 것입니다. 만약 두 선수가 혼합된 전략을 사용한다면, 그 결과는 내시 균형입니다. 각 참가자는 절반의 시간 동안 이기는데, 이것은 서로의 전략적 선택을 고려할 때 양쪽 모두가 할 수 있는 최선입니다. 마찬가지로, 두 선수가 모두 왼쪽과 오른쪽의 같은 확률을 선택한다면, 그것은 운전 경기에서의 내시 균형이며, 따라서 세가지의 내시 균형, 두가지의 순수함과 하나의 혼합을 가집니다. 치킨과 셈족의 싸움에서도 마찬가지지만, 셈족 전투에서 혼합된 내시 평형은 단순히 그들 각자를 순수하게 만드는 것보다 더 많은 선수들을 필요로 합니다. 있음직한 전략 Sexes 전투에서 밥은 발레보다 권투를 두배 더 좋아합니다. 그래서 앨리스는 두개의 순수한 전략에서 평균적으로 같은 보수를 받기 위해 공의 반만큼 권투를 해야 합니다. 밥은 그의 순수한 전략들 중 어느 것이 플레이 되는지 신경 쓰지 않기 때문에, 그의 모든 전략들은 똑같이 좋습니다. 하지만 이 혼합된 전략의 사용은 앨리스가 그녀의 두가지 순수한 전략 사이에서 무관심하게 만듭니다. 그래서 그녀의 모든 전략은 똑같이 훌륭합니다. 여기에는 박스를 공보다 두배 더 가능성이 높게 만드는 혼합 전략도 포함됩니다.

혼합된 내시 평형

이 회로의 완성은 앨리스와 밥이 그들이 가장 좋아하는 3분의 2전략을 구사하는 혼합된 내시 평형을 발견했다는 것을 보여 줍니다. 다른 사람을 무관심하게 만드는 건 합리적인 참여자들은 그들 사이에 무관심하지 않는 한 결코 두개의 순수한 전략 사이에서 이득을 보지 않습니다. 한가지 전략이 더 낫다면, 열등한 전략은 결코 실행되지 못할 것입니다. 무엇이 당신을 두 전략 사이에 무관심하게 만드는가? Sexes전투에서, 그 이유는 상대방이 각자의 전략에서 얻는 평균 보수와 같은 혼합 전략을 사용할 것이라고 믿기 때문입니다. 이 혼합된 내시 균형의 특징은 종종 언뜻 보기에 역설적으로 보이는 결과로 이어집니다. 착한 사마리아인 게임은 모든 똑같은 사람들이 누군가가 도와 달라는 외침에 반응하기를 원하는 것입니다. 각 플레이어는 누군가 도와 주면 10마일을 얻을 수 있고, 아무도 도와 주지 않으면 아무것도 얻을 수 없습니다. 어려운 점은 도움을 주는 것이 성가시다는 것이고, 그래서 도움을 주는 모든 플레이어들은 그들의 보상금에서 하나의 효용을 빼야만 한다는 것입니다. 만약 아무도 도우려는 사람이 없다면, 독자 분은 스스로 돕겠다고 제안하는 것이 최선입니다. 다른 모든 사람이 도와 줄 계획을 세우고 있다면, 아무것도 하지 않음으로써 여러분의 보상을 극대화할 수 있습니다. 그래서 모든 사람들이 독립적으로 같은 전략을 사용할 수 있는 유일한 가능성은 반드시 혼합되어 있습니다. 이렇게 혼란스러운 내시 균형 속에서, 다른 누구도 도와 주지 않을 가능성은 틀림없이 10분 중 단 한번밖에 없을 것입니다. 왜냐하면 이것은 여러분을 돕지 않는 빈도이기 때문입니다.

스스로에게 도움이 될 가능성

도움이 될 실제 확률은 균형 상태에서 제공되는데, 그것은 여러분이 스스로에게 도움이 될 가능성이 있기 때문입니다. 그러나, 어느 한 참가자가 균형을 잡는데 도움을 줄 확률은 아무도 도와 주지 않는 사람이 1.10과 같은 상태를 유지해야 하기 때문에 모집단이 커질수록 줄어들어야 합니다. 그래서 인구가 많을수록, 누군가가 도울 가능성은 낮아집니다. 두명의 선수만이 9/10확률로 도울 수 있고, 100명 중 한번은 도와 달라는 외침을 무시합니다. 백만명의 선수들이 있으면, 누구도 열번에 한번 정도는 도와 달라고 외치지 않을 정도로, 각각의 선수들은 그런 비슷한 가능성으로 도움을 줍니다. 뉴욕의 악명 높은 사건이 보여 주듯, 그 결과는 소름 끼칠 수 있습니다. 한 여자가 어두워진 후에 길게 폭행을 당했고 마침내 거리에서 살해되었습니다. 많은 사람들이 그녀의 도움 요청 소리를 들었지만 아무도 경찰에 전화를 하지 않았습니다. 저희는 신문들을 따라가서 도시 생활이 우리 모두를 괴물로 만들어 준다고 추론해야 할까요? 그럴지도 모르지만 착한 사마리아인 게임은 작은 마을의 사람들도 같은 상황에 처했을 때 같은 방식으로 행동할 수도 있다는 것을 암시합니다.

극단적인 경우

투표는 비슷한 성격을 가지고 있습니다. 극단적인 경우를 예로 들자면, 앨리스와 밥이 대통령 후보가 될 수 있는 유일한 사람들이라고 가정해 봅시다. 밥이 가망 없는 경우라는 것은 상식입니다. 오직 그의 어머니만이 그가 더 나은 대통령이 될 것이라고 생각합니다. 그녀는 틀림없이 투표할 것입니다. 그러나 왜 다른 누군가가 귀찮게 해야 하는가? 착한 사마리아인의 게임에서처럼 유권자를 더 많이 추가하면 상황이 더 악화됩니다. 균형을 잡으면, 밥은 100만명의 유권자가 있다 하더라도 어느 정도의 축소 불가능한 확률로 당선될 것입니다. 그런 투표 게임은 장난감일 뿐입니다. 실제 분들은 투표 여부에 대해 합리적인 생각을 좀처럼 하지 않습니다. 설사 그렇게 했더라도, 그들은 투표소에 가는 것이 고통이라기보다는 기쁨이라고 느낄 것입니다. 하지만 이 모델은 그럼에도 불구하고, 대통령 선거에서 투표에 실패한 많은 소수의 사람들을 비이성적이라고 비난하는 전문가들이 말을 하고 있다는 것을 보여 줍니다. 만약 더 많은 사람들이 투표하기를 원한다면, 저희는 모든 투표가 그렇게 많은 사람들이 투표에 대한 열정의 부족을 능가할 만큼 충분히 고려되는 좀 더 분산된 시스템으로 옮겨야 합니다. 우리가 그런 사람들을 설득해서 투표하기를 좋아하고 우리의 정치 제도를 바꾸고 싶지 않다면, 저희는 그들이 선거일 밤에 집에 있는 것을 참아야 할 것입니다. ‘모든 투표는 중요하지 않다’는 슬로건을 반복하세요, 왜냐하면 그것은 사실이 아니기 때문입니다.

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